В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB соответственно. Точки A2, B2, C2 — середины ломанных BAC, ABC, ACB соответственно (точка называется серединой ломанной если принадлежит ломанной и делит ее на две ломанных равной длины). Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 проходят через одну точку.
Общая преамбула ко всем трем решениям. Пусть стороны треугольника 
Не умаляя общности, 
Тогда A2 лежит на отрезке AB, причём 
Точка B2 лежит на отрезке AB, причём 
Точка C2 лежит на отрезке AC, причём 
Решение 1. Заметим, что условие задачи не симметрично. Исправим это. Найдем, где на прямой CA лежит точка A3 пересечение с прямых CA и A1A2. Обозначим отрезок AA3 = x, положительное направление в сторону, противоположную точке C. Тогда т. Менелая для точек A1, A2, A3 в треугольнике ABC гласит:
После стандартных преобразований получаем 
Поскольку 
прямая A3A2 перпендикулярная внешней биссектрисе угла, то есть параллельна внутренней. Следовательно, она является биссектрисой угла B1A1C1. Аналогично, прямые B1B2 и C1C2 — биссектрисы углов треугольника B1A1C1 и, значит, все три прямые пересекаются в центре вписанной окружности треугольника B1A1C1.
Решение 2. Назовём вневписанные окружности, касающиеся отрезков BC, CA, и AB, WA, WB, WC соответственно. Заметим, что точка A2 — середина отрезка между точками касания WC с отрезком AB и WB с продолжением луча BA за точку A. Точка A1 — середина отрезка между точками касания WC с продолжением луча за и WB с продолжением луча BC за C.
Значит, A1A2 — радикальная ось окружностей WB и WC. Аналогично, получаем, что прямые B1B2 — радикальная ось WA, WC, C1C2 — радикальная ось WA, WB. Значит, прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекаются в одной точке — радикальном центре окружностей WA, WB, WC.
Решение 3. Посчитаем, в каком отношении отрезки A1A2 и C1C2 делят отрезок B1B2. Применим теорему Менелая для треугольника AB1B2 и секущей C1C2. Получим
где X — точка пересечения B1B2 и C1C2, здесь и далее длины всех отрезков на прямых AB, BC, AC считаются комбинированием формул из преамбулы. Итак,
Теперь пусть X' — точка пересечения B1B2 и A1A2. Треугольники A1B1X' и A2B2X' подобны (A1B1 — средняя линия в треугольнике ABC),
Значит, 
ч. т. д.