За­пол­ним таб­лич­ку: в клет­ке (i, j) за­пи­шем, на какое мак­си­маль­ное число Вася может га­ран­ти­ро­ван­но к концу игры умно­жить име­ю­щу­ю­ся у него сей­час сумму, если сей­час в ящике оста­лось i чер­ных и j крас­ных шаров. Легко по­нять, что стоит с краю: если уже не оста­лось чер­ных шаров, то Вася может смело ста­вить все день­ги на крас­ный шар, со­от­вет­ствен­но уве­ли­чи­вая ка­пи­тал в p раз за каж­дый из остав­ших­ся крас­ных шаров. Ана­ло­гич­но если не оста­лось крас­ных. Это и от­ме­че­но в таб­ли­це ниже.

Те­перь пой­мем, что долж­но сто­ять в клет­ке (i, j) если мы уже знаем, что в клет­ках и стоят числа x и y со­от­вет­ствен­но. Пусть для опре­де­лен­но­сти

Во-пер­вых, в оп­ти­маль­ной стра­те­гии Вася не дол­жен де­лать по­ло­жи­тель­ные став­ки на оба ис­хо­да. В самом деле, пусть по своей стра­те­гии он дол­жен сей­час по­ста­вить суммы a и b, при­чем Тогда пусть вме­сто этого он по­ста­вит денег на тот исход, на ко­то­рый дол­жен был ста­вить a, и на 2b боль­ше денег оста­вит не по­став­лен­ны­ми. Тогда при любом ис­хо­де он будет иметь на денег боль­ше, чем имел бы, если бы ста­вил a и b.

Те­перь пой­мем, сколь­ко же Вася дол­жен ста­вить. Ста­вить он дол­жен на тот цвет, вы­па­да­ние ко­то­ро­го при­во­дит в клет­ку с чис­лом x (на­пом­ним, в про­тив­ном слу­чае если этот цвет вы­па­дет, Вася не смо­жет уве­ли­чить свой ка­пи­тал более чем в x раз, а мы стро­им стра­те­гию лучше. Для опре­де­лен­но­сти обо­зна­чим ко­ли­че­ство Ва­си­ных денег через D и пусть он по­ста­вит денег на цвет, вы­па­де­ние ко­то­ро­го при­во­дит в клет­ку с чис­лом x. Тогда если выпал этот цвет Вася ока­зал­ся в этой клет­ке имея денег, со­от­вет­ствен­но за­кон­чит игру, имея не менее денег (и не может га­ран­ти­ро­ван­но иметь боль­ше). Если же выпал цвет, при­во­дя­щий в клет­ку с чис­лом y, Вася попал туда, имея денег, зна­чит, за­кон­чит игру, имея не мень­ше денег (и не может га­ран­ти­ро­ван­но иметь боль­ше). Итак, га­ран­ти­ро­ван­ный ми­ни­мум при этой стра­те­гии есть

По­сколь­ку пер­вая из функ­ций под ми­ни­му­мом воз­рас­та­ю­щая по ϵ, а вто­рая  — убы­ва­ю­щая, мак­си­мум ми­ни­му­ма до­сти­га­ет­ся при зна­че­нии для ко­то­ро­го функ­ции при­ни­ма­ют одно зна­че­ние. Имеем

от­ку­да То есть

Иными сло­ва­ми, в ин­те­ре­су­ю­щей нас клет­ке долж­но сто­ять число Поль­зу­ясь этой фор­му­лой и зна­че­ни­я­ми в клет­ках на краях, за­пол­ним всю таб­лич­ку:

Ответ: см. табл.