РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 73 Добавить в вариант

Найдите наименьшее отличное от полного квадрата натуральное число N такое, что десятичная запись числа $корень из: начало аргумента: N конец аргумента$ имеет вид: A,00a₁a₂ ..., a_n ..., где A  — целая часть числа $корень из: начало аргумента: N конец аргумента ,$ a₁, a₂, ..., a_n, ...  — цифры от 0 до 9.

Спрятать решение

Решение.

По условию существует натуральное n такое, что $n в квадрате меньше N меньше левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$ Следовательно, существует натуральное a такое, что $N=n в квадрате плюс a,$ $a принадлежит левая круглая скобка 0; 2n плюс 1 правая круглая скобка .$ Далее

$n в квадрате меньше n в квадрате плюс a меньше левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно корень из: начало аргумента: n в квадрате конец аргумента меньше корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента меньше корень из: начало аргумента: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно 0 меньше корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента минус n меньше 1.$ $n в квадрате меньше n в квадрате плюс a меньше левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: n в квадрате конец аргумента меньше корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента меньше корень из: начало аргумента: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно 0 меньше корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента минус n меньше 1.$ $n в квадрате меньше n в квадрате плюс a меньше левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: n в квадрате конец аргумента меньше корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента меньше корень из: начало аргумента: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно 0 меньше корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента минус n меньше 1.$

Следовательно, дробная часть числа $корень из: начало аргумента: N конец аргумента$ равна $корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента минус n.$ Остается найти минимальное натуральное n, для которого существует натуральное $a принадлежит левая круглая скобка 0; 2n плюс 1 правая круглая скобка$ такое, что

$корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента минус n меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби .$

Отсюда

$корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс a конец аргумента меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби плюс n равносильно a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 конец дроби плюс дробь: числитель: n, знаменатель: 50 конец дроби .$

Минимальное n равно, очевидно, 50, и тогда $a=1.$ Следовательно, $N=n в квадрате плюс a=2501.$

Ответ: 2501.

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь