Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC касается вписанной и соответствующей вневписанной окружностей в точках T1, T2 соответственно. Окружность, проходящая через середины сторон, касается этих же окружностей в точках S1, S2 соответственно. Докажите, что 
.
Введем обозначения для длин сторон: 
и 
Сделаем инверсию с центром и радиусом 
с симметрией относительно биссектрисы угла C. Гипотенуза и окружность Эйлера треугольника переходят друг в друга. В самом деле, середины сторон прямоугольного треугольника и вершина его прямого угла образуют лежат в вершинах прямоугольника, значит, все четыре на одной окружности. Значит, при инверсии образ окружности — прямая, легко посчитать, что эта прямая отсекает от лучей CA и CB отрезки длины a и b соответственно, то есть симметрична AB относительно биссектрисы угла A.
Лемма. Вписанная и вневписанная окружности треугольника АВС переходят друг в друга.
Доказательство. Действительно, касательная из к вписанной окружности равна её радиусу r, а касательная из к вневписанной окружности равна полупериметру p. Таким образом, их произведение 
—
Следовательно 
переходит в S2, а T2 переходит в S1. Угол 
переходит в угол 
значит, они равны.