сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Клет­ки шах­мат­ной доски  10 \times 10 рас­кра­ше­ны в 50 цве­тов так, что в каж­дый цвет по­кра­ше­ны ровно две клет­ки. До­ка­жи­те, что на этой доске можно рас­ста­вить 10 ладей так, чтобы они сто­я­ли на клет­ках раз­но­го цвета и ни­ка­кие две из них не били друг друга. Две ладьи бьют друг друга, если они стоят в одной го­ри­зон­та­ли или в одной вер­ти­ка­ли доски.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На доске m \times m можно рас­ста­вить m не­бью­щих друг друга ладей m! спо­со­ба­ми (на пер­вой го­ри­зон­та­ли  — m спо­со­бов, на вто­рой  —  левая круг­лая скоб­ка m минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , \ldots, на по­след­ней  — един­ствен­ным спо­со­бом). Пусть до­ка­зы­ва­е­мое утвер­жде­ние не­вер­но. Тогда, если доска рас­кра­ше­на так, как в усло­вии, то для вся­кой рас­ста­нов­ки не бью­щих друг друга ладей какие-то две стоят на клет­ках од­но­го цвета. Сле­до­ва­тель­но, число  левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка ! (где n=5) таких рас­ста­но­вок не боль­ше, чем 2 n в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка !, так как пару ладей можно рас­ста­вить на клет­ках од­но­го цвета не более, чем  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 n в квад­ра­те спо­со­ба­ми, а осталь­ные  левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ладьи  —  левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ! спо­со­ба­ми.

Итак,  левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка ! \leqslant 2 n в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка !, от­ку­да 2 n минус 1 мень­ше или равно n, т. е. n мень­ше или равно 1, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рииОцен­каБаллы
За­да­ча ре­ше­на пол­но­стью.+16
Ре­ше­ние за­да­чи, со­дер­жит вер­ную общую схему ре­ше­ния, но в ре­зуль­та­те опис­ки или ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки по­лу­чен не­вер­ный ответ.±12
Ре­ше­ние со­дер­жит зна­чи­тель­ное про­дви­же­ние в вер­ном на­прав­ле­нии.±28
Ре­ше­ние в целом не­вер­ное или не­за­кон­чен­ное, но со­дер­жит опре­де­лен­ное со­дер­жа­тель­ное про­дви­же­ние в вер­ном на­прав­ле­нии. ±4
За­да­ча не ре­ше­на, со­дер­жа­тель­ных про­дви­же­ний нет.0
За­да­ча не ре­ша­лась. 00