На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что 
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
Обозначим искомую величину через x, а середину отрезка MP — через Q. Из условий 
и 
следуют равенства 
и 
соответственно, поэтому
Заметим, далее, что из условия 
следует, что прямая MP — серединный перпендикуляр к отрезку LN; с учётом условия 
это означает, что Q — середина дуги NL описанной окружности треугольника NBL, причём дуга не содержит точку B. По
и, ввиду того, что Q и M лежат в одной полуплоскости относительно прямой LN, заключаем, что Q — точка пересечения высот треугольника LMN.
Из равенств
и условия 
получаем равенство
откуда 
и 
Ответ: 