В ортоцентрическом тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что в получившемся многограннике все рёбра имеют равную длину.
Обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра за 
и 
Тогда основания медиан задаются формулой
и аналогичными ей, а середины медиан формулой
и аналогичными ей.
Вычитая один радиус-вектор из другого, получаем векторы рёбер получившегося многогранника
и аналогичные ему. При этом каждый такой вектор мы получаем два pasa, т. e. всего 6 различных векторов. Кроме того, вместо с вектором
мы также полу чаем и противоположный ему вектор
который имеет ту же длину. Умножив длины всех векторов на 6, понимаем, что нам достаточно доказать равенства
Также введём обозначения 
и 
Эти векторы соответствуют двум противоположным рёбрам тетраэдра. Поскольку тетраэдр ортоцентрический, эти рёбра перпендикулярны, то есть 
Отсюда полу чаем
что означает, что 
Вспоминая, что такое 
и 
полу чаем
Аналогично можно получить, что эти модули равны также и 
что и требовалось доказать.