В треугольнике ABC с большей стороной BC биссектрисы пересекаются в точке I. Прямые AI, BI, CI пересекают стороны BC, CA, AB в точках D, E, F соответственно. На отрезках BD и CD выбраны точки G и H соответственно такие, что угол GID равен углу ABC, а угол HID — углу ACB. Докажите, что углы BHE и CGF равны.
Обозначим величины углов треугольника АВС буквами А, В, С соответственно.
1. Найдём величины углов DHI и DGI. В четырёхугольнике ABGI углы при вершинах A, B, I равны 
поэтому величина угла ВGI равна 
а величина DGI равна 
Аналогично, в четырёхугольнике AСНI углы при вершинах A, С, I равны 
поэтому величина угла СНI равна 
а величина DНI равна Следовательно, треугольник HIG равнобедренный с углом 
при основании.
2. Треугольники HBI и ABI равны по общей стороне ВI и прилежащим к ней углам 
и 
Следовательно, равны соответствующие стороны HI = AI и углы BIH и BIA.
3. Треугольники ЕНI и ЕАI равны по двум сторонам HI = AI, EI = EI и углам 
и 
между ними. Следовательно, равны соответствующие углы ЕНI и ЕАI=
Тогда величина угла ВНЕ равна сумме углов DHI и ЕНI, то есть А. Аналогично, равны треугольники FGI и FAI и одноименные углы, поэтому величина угла СGF равна сумме углов DGI и FGI, то есть тоже А. Следовательно, углы BHE и CGF равны между собой, что и требовалось доказать.
: 2 балла. Доказано равенство треугольников HBI и ABI, GCI и ACI: 2 балла. Доказано равенство треугольников ЕНI и ЕАI, FGI и FAI: 2 балла. Доказана, на основании предыдущего, что равны углы BHE и CGF: 1 балл.