1.  Пусть сна­ча­ла для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k. Вы­иг­рыш­ной стра­те­ги­ей для Пети яв­ля­ет­ся сле­ду­ю­щая: если после оче­ред­но­го хода Васи фишка ока­за­лась на по­зи­ции с но­ме­ром то Петя на­зы­ва­ет число После этого Вася пе­ре­дви­нет фишку либо на по­зи­цию номер либо на по­зи­цию номер (по мо­ду­лю В любом слу­чае, мак­си­маль­ная сте­пень двой­ки, де­ля­щая номер по­зи­ции, на ко­то­рой фишка ока­жет­ся после оче­ред­но­го хода Васи, уве­ли­чи­ва­ет­ся ми­ни­мум на 1 . Сле­до­ва­тель­но, после не более, чем k ходов номер по­зи­ции фишки ста­нет де­лить­ся на что воз­мож­но толь­ко для по­зи­ции с но­ме­ром 0 , и Петя вы­иг­ра­ет.

2.  Пусть те­перь где   — мак­си­маль­ный нечётный де­ли­тель n. За­ме­тим, что по­зи­ции, но­ме­ра ко­то­рых де­лят­ся на p, пло­хие для Васи, если он по­ста­вит сна­ча­ла фишку на одну из них, то Петя, при­ме­няя стра­те­гию, ана­ло­гич­ную опи­сан­ной в п. 1, на­зы­вая каж­дый раз число вы­иг­ра­ет. По­это­му Вася дол­жен сна­ча­ла по­ста­вить фишку на любую по­зи­цию с но­ме­ром x, не де­ля­щим­ся на p. Пусть оче­ред­ным ходом Петя на­звал любое на­ту­раль­ное число s из диа­па­зо­на от 1 до Одно из чисел x – s и x + s не де­лит­ся на p, в про­тив­ном слу­чае на p де­лит­ся их сумма, равна 2x, а, зна­чит, на p де­лит­ся x, что про­ти­во­ре­чит его вы­бо­ру. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом ходу Вася может ста­вить фишку на по­зи­цию, номер ко­то­рой не де­лит­ся на p, и она ни­ко­гда не ока­жет­ся на по­зи­ции с но­ме­ром 0. Таким об­ра­зом, для n, не яв­ля­ю­щих­ся сте­пе­ня­ми двой­ки, Петя вы­иг­рать не смо­жет.

Ответ: