На кубической планете живут кубические мыши, причём живут они только на гранях куба, но никак не на рёбрах или вершинах. Известно, что на разных гранях живёт разное количество мышей, причём на любых соседних гранях это количество отличается по крайней мере на 2. Какое минимальное количество кубических мышей может жить на этой планете, если на каждой грани хоть кто-то да живёт?
Докажем, что никакие три последовательные числа не могут быть количеством мышей на гранях. Действительно, если бы на каких-то трёх гранях жило x, x + 1 и x + 2 мышей, то x и x + 1 должны были бы быть на противоположных гранях. Но тогда x + 2 мыши нигде бы быть не могло.
Рассмотрим первые 8 натуральных чисел. Среди первых трёх нет хотя бы одного, среди следующих трёх нет хотя бы одного. Значит, минимальная сумма 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27. Рассадить 27 мышей возможно. Для этого разобьём все грани на пары противоположных. На первой паре будет сидеть 1 и 2 мыши, на второй −4 и 5, на третьей −7 и 8. Таким образом, количества, отличающиеся на 1, относятся к противоположным граням, а на соседних разница хотя бы 2.
Ответ: 27.