По усло­вию, все числа не­от­ри­ца­тель­ны и не пре­вос­хо­дят 1 сле­ду­ет, что их по­пар­ные суммы x + z, x + y, y + z не боль­ше 2. За­ме­ним в зна­ме­на­те­ле каж­дой дроби левой части не­ра­вен­ства 2 на со­от­вет­ству­ю­щую сумму, от чего каж­дый зна­ме­на­тель не уве­ли­чит­ся и не­ра­вен­ство уси­лит­ся. По­лу­чим:

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние за­да­чи.

При­ве­дем не­ра­вен­ство к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. В левой части по­лу­чим:

В пра­вой части по­лу­чим:

Сла­га­е­мые и со­кра­ща­ют­ся, по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство

эк­ви­ва­лент­но не­ра­вен­ству из усло­вия за­да­чи. В силу сим­мет­рии можно счи­тать, что по­это­му сла­га­е­мые x²y и xy² в левой части не пре­вос­хо­дят xyz, а осталь­ные 16 сла­га­е­мых не боль­ше 1. Сле­до­ва­тель­но, сумма всех 18 сла­га­е­мых левой части не боль­ше 16 + 2xyz, то есть пра­вой части. Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.