Доказать, что для любых действительных чисел x, y, z из интервала [0; 1]выполнено неравенство
По условию, все числа неотрицательны и не превосходят 1 следует, что их попарные суммы x + z, x + y, y + z не больше 2. Заменим в знаменателе каждой дроби левой части неравенства 2 на соответствующую сумму, от чего каждый знаменатель не увеличится и неравенство усилится. Получим:
что и требовалось доказать.
Приведем другое решение задачи.
Приведем неравенство к общему знаменателю. В левой части получим:
В правой части получим:
Слагаемые 
и 
сокращаются, получаем неравенство
эквивалентно неравенству из условия задачи. В силу симметрии можно считать, что 
поэтому слагаемые x2y и xy2 в левой части не превосходят xyz, а остальные 16 слагаемых не больше 1. Следовательно, сумма всех 18 слагаемых левой части не больше 16 + 2xyz, то есть правой части. Неравенство доказано.
3 балла.