Пусть для действительных чисел x, y, z выполнено неравенство: 
Доказать, что для них выполнено и неравенство 
Прежде всего заметим, что при 
и 
выполнено неравенство 
В силу симметрии далее можно считать, что 
1. Докажем неравенство в случае, когда все переменные неотрицательны, то есть 
Если при этом 
то 
и неравенство доказано. Если 
то
тоже доказано.
2. Пусть теперь среди переменных есть отрицательные. Если их одна или три, то 
Остался случай 
Тогда
то есть первое неравенство из условия выполнено для тройки 
С учётом того, что второе неравенство условия для неотрицательных значений переменных уже доказано, получаем:
оно выполнено и для рассматриваемой тройки
2 балла. Требуемое неравенство доказано для 
1 балл. Требуемое неравенство доказано для случая трёх или одной переменной меньше 0: 1 балл. 
3 балла. 