На отрезке АВ, как на диаметре, построен полукруг, в котором точка М — середина дуги АВ. На дуге ВМ выбрана произвольная точка К, отличная от B и М, через Р обозначена точка пересечения прямых АВ и МК. Пусть Т — точка пересечения прямой АК и перпендикуляра к прямой АВ, проведённого через точку Р. Докажите, что длины отрезков ВР и РТ равны.
Утверждение задачи равносильно тому, что 
Угол АKВ вписан в полукруг и опирается на его диаметр, поэтому он и смежный с ним угол ТKВ — прямые. В четырёхугольнике ВKТР углы K и Р прямые, поэтому он является вписанным. Следовательно, вписанные углы ТВР и ТKР равны, как опирающиеся на общую дугу ТР. В свою очередь, угол ТKР равен вертикальному с ним углу МKА, вписанному в исходную полуокружность, а угол МKА равен углу МВА. Угол МВА является углом при основании равнобедренного прямоугольного треугольника АМВ, значит, его величина равна 
Следовательно, и величина равного ему угла ТВР равна 
поэтому треугольник ВРТ является прямоугольным равнобедренным и его катеты ВР и РТ равны, что и требовалось доказать.