Дана функция где P(x) многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть g(x) сороковая производная f(x). Докажите, что
Рассмотрим какой-то одночлен Его n-ая производная равна
а поскольку и k, и n не больше тысячи, эта производная не превосходит причём равенство достигается только когда и Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо x число 1000, и получаем, что По индукции легко доказать выполнение следующего равенства:
Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что
Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак на <.
Таким образом, мы получили, что откуда делением на получаем требуемое неравенство.