Каждая клетка квадратной доски размера n на n окрашена в синий или красный цвет. Строка или столбец называются синеватой, если в ней синих клеток больше, чем красных. Соответственно, строка или столбец называются красноватой, если в ней красных клеток больше, чем синих. Какое максимальное значение может принимать сумма числа красноватых строк и числа синеватых столбцов при некоторой раскраске доски в зависимости от n?
Рассмотрим произвольную раскраску доски в два цвета, обозначим за x количество красноватых строк и за y — количество синеватых столбцов в ней.
1. Пусть сначала n — нечётно. Оценка. Каждая красноватая строка содержит не меньше 
красных клеток, а каждый синеватый столбец — не меньше синих клеток, следовательно,
откуда
При 
отсюда следует 
Пример. Раскрасим левый нижний квадрат размера n − 1 на n − 1 клеток доски в синий и красный цвета в шахматном порядке, верхнюю строку в синий цвет, а правый столбец — в красный цвет. Тогда n − 1 нижних строк будут красноватыми, а n − 1 левый столбец — синеватыми.
2. Пусть теперь n нечётно. Оценка. Каждая красноватая строка содержит не меньше 
красных клеток, а каждый синеватый столбец — не меньше синих клеток, следовательно,
откуда
При 
отсюда следует 
Пример. Раскрасим левый нижний квадрат размера n − 2 на n − 2 клеток доски в синий и красный цвета в шахматном порядке, две верхних строки в синий цвет, а два правых столбца — в красный цвет. Тогда n − 2 нижних строки будут красноватыми, а n − 2 левых столбца — синеватыми.
3. Оставшиеся случаи малых чётных n. При n = 2 по формуле 
значение 2 = 2 + 0 достигается при окраске всех клеток доски в красный цвет (или наоборот в синий цвет). При n = 4 по формуле 
значение 5 = 4 + 1 достигается при окраске трёх левых столбцов в красный цвет и правого — в синий. Наконец, при n = 6 по формуле 
Для достижения оценки 9 = 6 + 3 окрасим в красный цвет все клетки трёх левых столбцов, а также первую и вторую снизу клетки четвёртого, третью и четвёртую снизу клетки пятого, пятую и шестую снизу клетки шестого столбцов. Остальные 12 клеток красим в синий.
Ответ: максимальное значение суммы числа красноватых строк и числа синеватых столбцов равно:
а) если n — нечётно, то 
б) если n — чётно и 
то 
в) для n равных 2, 4, 8 соответственно 2, 5, 9.
1 балл. 
балл.