Число яв­ля­ет­ся целым тогда и толь­ко тогда, когда целым яв­ля­ет­ся число Де­ли­мость на 60 рав­но­силь­на од­но­вре­мен­ной де­ли­мо­сти на 4, 3 и 5. По­это­му рас­смот­рим остат­ки от де­ле­ния чисел x, y на эти числа, и тому, при каком со­че­та­нии этих остат­ков целым будет число Более того, в до­ка­за­тель­стве де­ли­мо­сти на 4 нам по­на­до­бят­ся даже остат­ки от де­ле­ния на 8.

1.  Остат­ки от де­ле­ния чисел x, y на 5 равны 0, 1, 2, 3, 4, а от де­ле­ния их квад­ра­тов на 5: 0, 1, 4, 4, 1. Если x или y де­лят­ся на 5, то и про­из­ве­де­ние тоже де­лит­ся на 5. В про­тив­ном слу­чае остат­ки от де­ле­ния на 5 чисел x², y² равны 1 или 4, а воз­мож­ный оста­ток x² + y² равен 2  =  1 + 1 и 0  =  1 + 4. В по­след­нем слу­чае x² + y² де­лит­ся на 5 и яв­ля­ет­ся пол­ным квад­ра­том, то есть де­лит­ся на 25, и де­лит­ся на 5. В двух дру­гих слу­ча­ях остат­ки от де­ле­ния x² + y² на 5 равны 2 или 3, что не равно 0,1 или 4, по­это­му x² + y² не яв­ля­ет­ся квад­ра­том и целый ко­рень квад­рат­ный из него не из­вле­ка­ет­ся, то есть эти слу­чаи не под­па­да­ют под усло­вия за­да­чи.

2.  Остат­ки от де­ле­ния чисел x, y на 3 равны 0, 1, 2, а от де­ле­ния их квад­ра­тов на 3: 0, 1, 1. Если x или y де­лят­ся на 3, то и про­из­ве­де­ние тоже де­лит­ся на 3. В про­тив­ном слу­чае остат­ки от де­ле­ния на 3 чисел x², y² равны 1, а оста­ток x² + y² равен 2  =  1 + 1. В по­след­нем слу­чае оста­ток от де­ле­ния x² + y² на 3 равен 2, что не равно 0 или 1, по­это­му x² + y² не яв­ля­ет­ся квад­ра­том и целый ко­рень квад­рат­ный из него не из­вле­ка­ет­ся, то есть этот слу­чай не под­па­да­ет под усло­вия за­да­чи.

3.  Остат­ки от де­ле­ния чисел x, y на 4 равны 0, 1, 2, 3, а от де­ле­ния их квад­ра­тов на 4: 0, 1, 0, 1. Если x или y де­лят­ся на 4, то и про­из­ве­де­ние тоже де­лит­ся на 4. То же самое в слу­чае, когда оба остат­ка от де­ле­ния чисел x, y на 4 равны 2. В остав­ших­ся слу­ча­ях оста­ток от де­ле­ния на 4 числа x² + y² равен 2  =  1 + 1 или 1  =  0 + 1. В пер­вом слу­чае оста­ток от де­ле­ния x² + y² на 4 равен 2, что не равно 0 или 1, по­это­му x² + y² не яв­ля­ет­ся квад­ра­том и целый ко­рень квад­рат­ный из него не из­вле­ка­ет­ся, то есть этот слу­чай не под­па­да­ет под усло­вия за­да­чи. Во вто­ром слу­чае или Тогда

то есть в обоих слу­ча­ях оста­ток от де­ле­ния на 8 равен 5. Од­на­ко легко за­ме­тить, что оста­ток от де­ле­ния квад­ра­та числа на 8 может рав­нять­ся 0, 1, 4, по­это­му не может быть целым и дан­ный слу­чай не под­па­да­ет под усло­вия за­да­чи.

Таким об­ра­зом, во всех слу­ча­ях, если число яв­ля­ет­ся целым, то оно де­лит­ся на 3, 4 и 5, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.