Действительные числа 
таковы, что 
и 
Докажите, что тогда 
Рассмотрим кубическое уравнение 
относительно переменной t, корнями которого являются действительные числа 
Раскроем скобки в левой части уравнения:
где p = –xyz. Исследуем функцию 
из левой части уравнения. Находим производную 
её корнями являются t1 = 1 и t2 = 3. На интервалах 
и 
она положительна, и на них функция возрастает, на интервале (1, 3) она отрицательна и функция убывает. Следовательно, t1 = 1 точка локального максимума функции, а t2 = 3 — точка локального минимума. Уравнение имеет три корня только при выполнении следующих условий:
При этом 
следовательно, знаки чисел f(0), f(1), f(3), f(4) чередуются, начиная с минуса. Поэтому первый корень уравнения x принадлежит отрезку 
второй корень y принадлежит отрезку 
а третий корень z — отрезку 
что и требовалось доказать.
Приведем другое решение.
1. Ограничим все переменные сразу. Рассмотрим равенства 
и
По теореме Виета y и z являются действительными корнями квадратного уравнения 
относительно переменной t с параметром x. Рассмотрим квадратичную функцию
своё минимальное значение она принимает при 
Уравнение f(t) = 0 имеет два различных действительных корня y < z, поэтому значение
должно быть отрицательно, значит, 
Рассуждение данного пункта, проведённое относительно x можно повторить относительно остальных переменных, поскольку оно не использует условия x < y < z. Следовательно, мы доказали, что 0 < x, y, z < 4.
2. Ограничим значение переменной x. Меньший корень y уравнения
расположен в интервале 
поэтому 
С другой стороны, 
откуда x < 2. Кроме того,
откуда, с учётом уже доказанных неравенств 0 < x < 2, получаем 0 < x < 1. При этом абсцисса вершины параболы
и f(t) при любом 0 < x < 1 убывает на интервале 
и возрастает на интервале (3, 4).
3. Ограничим значение переменной y. Заметим, что при всех 0 < x < 1 выполняется неравенство 
поэтому корень y лежит в интервале 
В частности, y > 1. С другой стороны
при любом 0 < x < 1.
4. Ограничим значение переменной z. Выражение 
отрицательно при всех 0 < x < 1, поэтому корень z лежит в интервале (3, 4).