Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
(А. К. Кулыгин)
Лемма. Среди любых пяти узлов сетки из правильных треугольников найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел сетки.
Доказательство. Введём начало отсчёта в одном из узлов сетки и обозначим за 
и 
радиус-векторы к двум ближайшим узлам, как на верхнем рисунке. Тогда узлы сетки суть точки вида 
для целых m и n. По принципу Дирихле из пяти точек найдутся две точки 
и 
у которых одновременно совпадает чётность m1 и m2 и чётность n1 и n2. Середина отрезка, соединяющего эти две точки, есть точка
Она является узлом сетки, так как числа 
и 
являются целыми в силу одинаковой чётности m1 и m2, n1 и n2.
На рисунке слева можно увидеть пример расположения 8 узлов сетки, среди которых нет двух, середина отрезка между которыми — узел сетки. Докажем, что девяти узлов достаточно. Заметим, что шестиугольная сетка разбивается в объединение двух треугольных (см. нижний рисунок). По принципу Дирихле среди любых девяти узлов по крайней мере пять окажутся в одной из этих двух треугольных сеток. По лемме среди этих пяти узлов найдутся два искомых.
Ответ: 9.
Комментарий.
Треугольная сетка из леммы лелеется сеткой из равных параллелограммов, если стереть я лишние линии. А утверждение про квадратную сетку из условия задачи также справедливо для любой сетки из равных параллелограммов. Таким образом, в условии задачи присутствовала в каком-то смысле подсказка.