сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ро­до­на­чаль­ник дво­рян­ско­го рода по­лу­чил уча­сток земли. Каж­дый из муж­чин в роду уми­рая делил до­став­шу­ю­ся ему землю по­ров­ну между сво­и­ми сы­но­вья­ми. Если же сы­но­вей у него не было, земля пе­ре­хо­ди­ла к го­су­дар­ству. Боль­ше никто из чле­нов рода ни­ка­ким об­ра­зом не по­лу­чал или не ли­шал­ся своей земли. Всего в роду было 180 че­ло­век. Какую наи­мень­шую долю ис­ход­но­го участ­ка мог по­лу­чить кто-либо из чле­нов рода?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим че­ло­ве­ка с самой наи­мень­шей долей. Пусть у его отца было a_1 сы­но­вей, у деда  — a_2 и так далее до ос­но­ва­те­ля рода, у ко­то­ро­го было a_n. Тогда доля этого че­ло­ве­ка со­став­ля­ет

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a_1 a_2 \ldots a_n конец дроби ,

причём нам из­вест­но, что a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n не пре­вос­хо­дит 179 (по­сколь­ку ос­но­ва­тель рода в эту сумму точно не вхо­дит). Таким об­ра­зом, мы ищем набор чисел с сум­мой, не пре­вос­хо­дя­щей 179 и мак­си­маль­ным про­из­ве­де­ни­ем. До­ка­жем, что любой набор, кроме на­бо­ра, со­сто­я­ще­го из 59 троек и одной двой­ки, не об­ла­да­ет мак­си­маль­ным про­из­ве­де­ни­ем, так как его можно уве­ли­чить,

Во-пер­вых, если сумма чисел в на­бо­ре мень­ше 179, до­ба­вим туда ещё одно число, чтобы сде­лать её рав­ной 179. Про­из­ве­де­ние от этого не умень­шит­ся.

Во-вто­рых, пусть в нашем на­бо­ре есть число a боль­ше или равно 4 . За­ме­ним a на пару чисел b и c боль­ших еди­ни­цы, таких, что b плюс c=a . До­ка­жем, что b c боль­ше или равно b плюс c . Дей­стви­тель­но,

b c минус b минус c= левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1,

что не­от­ри­ца­тель­но при b и c боль­ших еди­ни­цы.

В-тре­тьих, если среди на­бо­ра есть число 1, то можно за­ме­нить любое число a и 1 на a плюс 1, от­че­го про­из­ве­де­ние этих чисел уве­ли­чит­ся на 1.

Таким об­ра­зом, любой набор можно пре­об­ра­зо­вать в набор из двоек и троек, не умень­шая про­из­ве­де­ния его чисел. Далее, пусть ко­ли­че­ство двоек хотя бы три, тогда их про­из­ве­де­ние равно 8. Если же мы за­ме­ним три двой­ки на две трой­ки, сумма чисел не из­ме­нит­ся, а про­из­ве­де­ние ста­нет равно 9, то есть опять-таки уве­ли­чит­ся. Таким об­ра­зом, можно до­бить­ся того, чтобы ко­ли­че­ство двоек стало не боль­ше двух. По­сколь­ку 179=59 умно­жить на 3 плюс 2, в ито­го­вом на­бо­ре будет ровно одна двой­ка.

Итак, любой набор на­ту­раль­ных чисел с сум­мой, не пре­вос­хо­дя­щей 179, можно пре­об­ра­зо­вать в набор из 59 троек и одной двой­ки, и при этом про­из­ве­де­ние чисел в на­бо­ре не умень­шит­ся. Зна­чит, по­лу­чен­ный в итоге набор об­ла­да­ет наи­боль­шим про­из­ве­де­ни­ем, рав­ным 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 59 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2, что дает нам наи­мень­шую долю на­след­ства об­рат­ную к этому числу.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 59 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .