сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Чтобы снять день­ги с кар­точ­ки, Алиса в бан­ко­ма­те вво­дит пин-код (ПК) x1, x2, x3, x4  — набор из 4 минус x целых чисел левая круг­лая скоб­ка 0 мень­ше или равно x_i мень­ше или равно 9, i=1, 2, 3, 4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Бан­ко­мат за­шиф­ро­вы­ва­ет вве­ден­ный ПК по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу: он слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ет целое число x5 такое, что 10 мень­ше или равно x_5 мень­ше или равно 15, а затем фор­ми­ру­ет за­шиф­ро­ван­ный пин-код (ЗПК) y1, y2, y3, y4, y5 по фор­му­лам:

y_1=f левая круг­лая скоб­ка r_16 левая круг­лая скоб­ка x_1 плюс 3 умно­жить на y_0 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , y_2=f левая круг­лая скоб­ка r_16 левая круг­лая скоб­ка x_2 плюс 3 умно­жить на y_1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , y_3=f левая круг­лая скоб­ка r_16 левая круг­лая скоб­ка x_3 плюс 3 умно­жить на y_2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , y_4=f левая круг­лая скоб­ка r_16 левая круг­лая скоб­ка x_4 плюс 3 умно­жить на y_3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , y_5=f левая круг­лая скоб­ка r_16 левая круг­лая скоб­ка x_5 плюс 3 умно­жить на y_4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где y_0=2, r16(x)  — оста­ток от де­ле­ния числа x на 16, а f  — не­ко­то­рое пра­ви­ло, по ко­то­ро­му одно целое число от 0 до 15 за­ме­ня­ет­ся на дру­гое (воз­мож­но, то же самое) целое число от 0 до 15, при­чем раз­ные числа за­ме­ня­ют­ся раз­ны­ми. После этого ЗПК от­прав­ля­ет­ся на сер­вер, где он рас­шиф­ро­вы­ва­ет­ся (то есть по при­слан­ным чис­лам y1, y2, y3, y4, y5 вы­чис­ля­ют­ся x1, x2, x3, x4 и x_5 пра­вая круг­лая скоб­ка , и, если x_5 не удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству 10 мень­ше или равно x_5 мень­ше или равно 15, то сер­вер вы­да­ет со­об­ще­ние об ошиб­ке. Из­вест­но, что для ПК Алисы был сфор­ми­ро­ван сле­ду­ю­щий ЗПК: 13, 13, 1, 11, 7. Из­вест­но также, что ха­ке­ры пы­та­лись от­сы­лать на сер­вер (на­пря­мую, минуя бан­ко­мат) в ка­че­стве y1, y2, y3, y4, y5 ком­би­на­ции чисел вида 0, 0, 0, a, b. Ре­зуль­та­ты их по­пы­ток при­ве­де­ны в таб­ли­це (знак «+»  — сер­вер не выдал со­об­ще­ние об ошиб­ке, знак «_»  — выдал). Какой ПК у Алисы?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для фор­ми­ро­ва­ния ве­ли­чи­ны x5, ко­то­рая будет про­ве­рять­ся на пред­мет того, при­над­ле­жит ли она мно­же­ству \Omega_1= левая фи­гур­ная скоб­ка 10, 11, 12, 13, 14, 15 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , будут за­дей­ство­ва­ны толь­ко по­след­ние два числа: a, b. Тогда про­це­ду­ра про­вер­ки будет вы­гля­деть сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

x_5=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a пра­вая круг­лая скоб­ка \stackrel? при­над­ле­жит \Omega_1.

Не­труд­но до­га­дать­ся по виду дан­ной в усло­вии таб­ли­цы, что струк­ту­ра каж­до­го столб­ца с но­ме­ром b таб­ли­цы с точки зре­ния воз­ни­ка­ю­щих оши­бок x5 будет сле­ду­ю­щей: a_j=r_16 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс j пра­вая круг­лая скоб­ка , j=\overline1,16.

 

++−−−−++−−−++−−−
a1

a2

a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16

 

Ва­ри­ант рас­суж­де­ний а). Вы­де­ля­ем слу­чаи, когда x_5 при­над­ле­жит \Omega_1 (по­ме­че­ны в таб­ли­це тем­ным, далее по тек­сту услов­но обо­зна­чим \Omega_1 плюс c  — мно­же­ство эле­мен­тов Ω1, к каж­до­му из ко­то­рых при­бав­ле­но число c и от по­лу­чив­ших­ся зна­че­ний взят оста­ток от де­ле­ния на 16):

— при a1 имеем

r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Omega_1= левая фи­гур­ная скоб­ка 10, 11, 12, 13, 14, 15 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

— при a_2=a_1 плюс 1 имеем

r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Omega_1 плюс 3=\Omega_2= левая фи­гур­ная скоб­ка 13, 14, 15,0,1,2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

— при a_7=a_1 плюс 6 имеем

r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Omega_1 плюс 2=\Omega_7= левая фи­гур­ная скоб­ка 12, 13, 14, 15, 0, 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

— при a_8=a_1 плюс 7 имеем

r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Omega_1 плюс 5=\Omega_8= левая фи­гур­ная скоб­ка 15, 0, 1, 2, 3, 4 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

— при a_12=a_1 плюс 11 имеем

r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Omega_1 плюс 1=\Omega_12= левая фи­гур­ная скоб­ка 11, 12, 13, 14, 15, 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

— при a_13=a_1 плюс 12 имеем

r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Omega_1 плюс 4=\Omega_13= левая фи­гур­ная скоб­ка 14, 15, 0, 1, 2, 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Не­труд­но за­ме­тить, что \Omega_1 \cap \Omega_8= левая фи­гур­ная скоб­ка 15 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , то есть r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =15.

Ва­ри­ант рас­суж­де­ний б).От­ве­тим на во­прос, при каких зна­че­ни­ях x_5=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на a пра­вая круг­лая скоб­ка воз­мож­на си­ту­а­ция, что при про­вер­ке x_5 при­над­ле­жит \Omega_1 при a_1 будет «+», при a_2=a_1 плюс 1 будет «+», а при

a_3=a_2 плюс 1, 4=a_3 плюс 1, a_5=a_4 плюс 1, a_6=a_5 плюс 1

будет «−». Ис­хо­дя из при­ве­ден­ной ниже таб­ли­цы, не­труд­но за­ме­тить, что толь­ко при x_5=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =15.

 

минус 3 умно­жить на a= −15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−10
−−−−−−−−−−++++++
x_5= 0123456789101112131415
a6a5a4a3a2a1

 

Общий вывод из рас­суж­де­ний a) или б).

Если в таб­ли­це оши­бок для x5 при за­дан­ном b есть струк­ту­ра вида

 

++−−−−
a1a2a3a4a5a6

 

то r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =15, то есть f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 3 a_1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Это яв­ля­ет­ся удоб­ным кри­те­ри­ем для опре­де­ле­ния об­рат­ных зна­че­ний функ­ции f.

Рас­смот­рим стол­бец из дан­ной в усло­вии таб­ли­цы с b=11 . Из-за за­ко­но­мер­но­стей в об­ра­зо­ва­нии «+» не труд­но до­га­дать­ся, что под­хо­дя­щей под кри­те­рий струк­ту­рой будет

 

++−−−−
1501234

 

По­это­му a_1=15 и f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 15 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =12, что поз­во­ля­ет найти x4:

x_4=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 12 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =9.

Рас­смот­рим стол­бец из дан­ной в усло­вии таб­ли­цы с b=1. Не труд­но за­ме­тить, что под­хо­дя­щей под кри­те­рий струк­ту­рой будет

 

++−−−−
345678

 

По­это­му a_1=3 и f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =8, что поз­во­ля­ет найти x3:

x_3=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 8 минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Рас­смот­рим стол­бец из дан­ной в усло­вии таб­ли­цы с b=13. Из-за за­ко­но­мер­но­стей в об­ра­зо­ва­нии «_» не труд­но до­га­дать­ся, что под­хо­дя­щей струк­ту­рой будет

 

++−−−−
101112131415

 

По­это­му a_1=10 и f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 10 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =13, что поз­во­ля­ет найти x1, x2:

x_1=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 13 минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =7; x_2=r_16 левая круг­лая скоб­ка f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_16 левая круг­лая скоб­ка 13 минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =6.

Ответ: ПК Алисы 7, 6, 1, 9.

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024