РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7591 Добавить в вариант

Найдите натуральное число x, не превосходящее 85 такое, что при делении чисел x¹⁵ и x²³ на 85 в остатке получится соответственно 23 и 28.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 23 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате =x умножить на левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе .$ Следовательно, $28 в квадрате \equiv x умножить на 23 в кубе левая круглая скобка \bmod 85 правая круглая скобка .$ Поскольку $28 в квадрате \equiv 19 левая круглая скобка \bmod 85 правая круглая скобка$ и $23 в кубе \equiv 12 левая круглая скобка \bmod 85 правая круглая скобка ,$ получаем, что

$19 \equiv x умножить на 12 левая круглая скобка \bmod 85 правая круглая скобка равносильно 12 x=85 k плюс 19, k принадлежит Z .$

Отсюда $x=7 k плюс 1 плюс дробь: числитель: k плюс 7, знаменатель: 12 конец дроби .$ Чтобы число $k плюс 7$ делилось нацело на 12, необходимо и достаточно, чтобы число k давало остаток 5 при делении на 12, то есть $k=12 m плюс 5,$ $m принадлежит Z .$ Следовательно, $x=85 m плюс 37.$ По условию $0 меньше x меньше или равно 85,$ поэтому $x=37.$

Ответ: 37.

Межрегиональная олимпиада школьников им. И. Я. Верченко, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Остатки и сравнения

Спрятать решение · Помощь