РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7600 Добавить в вариант

Про составленный из цифр 20-значный пароль (a₁, a₂, ..., a₂₀) известно следующее:

1)  сумма первых 5 цифр $a_1 плюс \ldots плюс a_5$ делится на 5;

2)  сумма первых 10 цифр $a_1 плюс \ldots плюс a_10$ делится на 10 и 3) сумма всех цифр пароля $a_1 плюс \ldots плюс a_20$ делится на 20.

Сколько таких паролей?

Спрятать решение

Решение.

Чтобы удовлетворить условию (1), первые четыре цифры можно выбрать произвольным образом, тогда пятая может быть найдена двумя способами. Следовательно, первые пять цифр можно выбрать $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$ способами. Следующие четыре цифры (a₆, ..., a₉) выбираем произвольно, а выполнение условия (2) обеспечивается единственно возможным выбором цифры a₁₀. Таким образом, количество наборов из 10-и цифр, удовлетворяющих условиям (1) и (2), равно

$2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка .$

По аналогии, количество наборов (a₁₁, a₁₂, ..., a₂₀), сумма цифр у которых делится на 10, равно 10⁹. Далее, пусть $A= левая круглая скобка a_11, a_12, \ldots, a_20 правая круглая скобка$   — один из таких наборов, то есть сумма его цифр $M=a_11 плюс a_12 плюс \ldots плюс a_20$ делится на 10. Используя цифры набора A, построим набор

$B= левая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус a_11 правая круглая скобка , левая круглая скобка 9 минус a_12 правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка 9 минус a_20 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Сумма его цифр также делится на 10 и равна 90 − M. Но тогда суммы цифр в наборах A и B имеют разные остатки от деления на 20 (у одной из них он 0, у другой  — 10). Рассмотрим теперь какой-либо набор (a₁, ..., a₁₀), удовлетворяющий условиям (1) и (2). Дополним его наборами A и B. Тогда сумма всех цифр ровно у одного из двух наборов (a₁, ..., a₁₀, A) и (a₁, ..., a₁₀, B) будет делиться нацело на 20. Значит, одному набору (a₁, ..., a₁₀) «подойдет» ровно половина из 10⁹ наборов (a₁₁, a₁₂, ..., a₂₀). Следовательно, общее количество наборов, удовлетворяющих условиям задачи, равно

$2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка =10 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка .$

Ответ: 10¹⁷.

Аналоги к заданию № 7590: 7600 Все

Межрегиональная олимпиада школьников им. И. Я. Верченко, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь