сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Стaрший ко­эф­фи­ци­ент квaдрaтного трёхчленa f(x) рaвен 1. Все три ко­эф­фи­ци­ентa в не­ко­то­ром по­ряд­ке обрaзуют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию из трёх эле­мен­тов с рaзно­стью q. Нaйдите все воз­мож­ные знaчения q, если из­вест­но, что это рaционaльное число и рaзность кор­ней f(x) рaвнa q.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ко­эф­фи­ци­ен­ты трёхчле­на имеют сле­ду­ю­щий вид: a, aq, aq в квад­ра­те в не­ко­то­ром по­ряд­ке. Корни можно пред­ста­вить как b и b плюс q.

Пер­вый слу­чай: a=1, два дру­гих ко­эф­фи­ци­ен­та: q и q в квад­ра­те .

Под­слу­чай 1.1: 2 b плюс q= минус q \Rightarrow b=q . Далее,

b левая круг­лая скоб­ка b плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка =q в квад­ра­те \Rightarrow q умно­жить на 2 q=q в квад­ра­те ,

от­ку­да q=0, что не­воз­мож­но из опре­де­ле­ния гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Под­слу­чай 1.2:

2 b плюс q= минус q в квад­ра­те \Rightarrow b= дробь: чис­ли­тель: минус q в квад­ра­те минус q, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Далее,

b левая круг­лая скоб­ка b плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка =q \Rightarrow q в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка q плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка q минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 q,

от­ку­да снова q=0, что не­воз­мож­но из опре­де­ле­ния гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Дру­гие ра­ци­о­наль­ные корни этого урав­не­ния могут быть толь­ко чис­ла­ми \pm 1, \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , легко убе­дит­ся, что они не под­хо­дят.

Вто­рой слу­чай: a q=1, два дру­гих ко­эф­фи­ци­ен­та:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби и q.

Под­слу­чай 2.1:

2 b плюс q= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби \Rightarrow b= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби минус q пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 q конец дроби .

Далее,

b левая круг­лая скоб­ка b плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка =q \Rightarrow левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =4 q в кубе .

Ра­ци­о­наль­ные корни этого урав­не­ния могут быть толь­ко чис­ла­ми \pm 1, легко убе­дит­ся, что они не под­хо­дят.

Под­слу­чай 2.2: 2 b плюс q= минус q \Rightarrow b= минус q. Далее,

b левая круг­лая скоб­ка b плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби \Rightarrow 0= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби ,

нет ре­ше­ний.

Тре­тий слу­чай: a q в квад­ра­те =1, два дру­гих ко­эф­фи­ци­ент а:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те конец дроби

Под­слу­чай 3.1:

2 b плюс q= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби \Rightarrow b= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус q минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 q конец дроби .

Далее,

b левая круг­лая скоб­ка b плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те конец дроби \Rightarrow левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =4 \Rightarrow 5 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Ра­ци­о­наль­ных кор­ней нет.

Под­слу­чай 3.2:

2 b плюс q= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те конец дроби \Rightarrow b= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус q минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс q в кубе , зна­ме­на­тель: 2 q в квад­ра­те конец дроби .

Далее,

b левая круг­лая скоб­ка b плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби \Rightarrow левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус q в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка =4 * q в кубе .

Ра­ци­о­наль­ные корни этого урав­не­ния могут быть толь­ко чис­ла­ми \pm 1 . Таким об­ра­зом, все слу­чаи разо­бра­ны, ра­ци­о­наль­ных ре­ше­ний нет.

 

Ответ: Ре­ше­ний нет.