Рассмотрим девять чисел 
При этом хотя бы одно число ki отлично от нуля. С помощью этих чисел вырабатывают последовательность u1, u2, ..., u2019 по формулам:
где r3(a) — остаток от деления числа a на 3. Найдите такое наименьшее натуральное число l, что какие бы исходные числа k1, ..., k9 мы ни взяли, в последовательности
Для каждого набора 
укажем такое минимальное l, что в соответствующей последовательности
1. В наборе k встречается каждое из чисел 0, 1 и 2. Тогда искомое l не превосходит 9.
2. Набор k состоит только из 1. Тогда 
и 
Значит, 
3. В наборе k присутствуют и 1, и 2, но нет 0. Значит, среди чисел 
и 
4. Набор k состоит из 0 и 1. Число 2 впоследствии дадут только две рядом стоящие 1. Поэтому рассмотрим варианты:
а) в k есть рядом стоящие 1. Тогда 
б) в k нет рядом стоящих 1. Здесь возможны следующие случаи:
— есть хоть одна единица «не с краю». То есть найдется номер s такой, что 
и 
Рядом стоящих единиц нет, поэтому 
Тогда 
Следовательно, 
и 
— единица есть только «с краю». Пусть 
В этом случае начало последовательности
и убедиться, что 
Пусть 
Тогда
и 
И, наконец, для 
находим
и 
Отметим, что случаи, «k состоит только из 2» и «k состоит только из 0 и 2» эквивалентны случаям 2 и 4 соответственно. Действительно, если в последовательности {un}, отвечающей набору 
заменить все 2 на 1, а 1 на 2, то получится последовательность, соответствующая набору k.
Ответ: 