Целое число может быть преобразовано следующим образом. Пусть, например, Представим его в двоичной системе счисления пятизначным числом: Теперь выберем какое-нибудь целое число и сдвинем получившуюся строку 01001 циклически на c позиций влево. Например, при получится строка 10010, представляющая собой двоичную запись числа 18. Значит, сдвигом на одну позицию из числа 9 получается число 18; будем это записывать так: (Если 01001 сдвинуть влево на две позиции, то получится 00101, то есть Итак,
Для зашифрования осмысленного слова выбирается секретный ключ — набор из 64 чисел
и
Затем с каждой буквой слова (по отдельности) проделывается следующее. Букву заменяют числом a по таблице и последовательно вычисляют
Исходную букву затем заменяют на букву, соответствующую числу a32. (Если в процессе вычислений получается число, превышающее 30, то оно заменяется остатком от деления на 31. Так, сумму следует заменить на 6.)
В результате зашифрования получился набор букв ЯГКЫНИ. Найдите исходное слово, если известно, что при зашифровании на этом ключе буква Ы переходит в букву b, а буква П — в E.
А | Б | В | Г | Д | Е | Ж | З | И | К | Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф | Х | Ц | Ч | Ш | Щ | Ъ | Ы | Ь | Э | Ю | Я |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
Покажем, что
Заметим, что достаточно доказать для Пусть Если то равенство (*) очевидно. Если то
Тогда
и равенство (*) доказано. Следовательно,
То есть, на одном шаге шифрования — линейное преобразование числа по правилу (1). Так как композиция линейных преобразований есть линейное преобразование, то где x и
Воспользуемся тем, что на этом ключе буква b переходит в букву b, а буква П — в E:
(по модулю 31).
Вычитая из первого равенства второе, получим: Отсюда Тогда (по модулю 31) и, следовательно, Окончательно получили: Тогда
(можно было сразу решать уравнение Последовательно подставляя буквы шифрованного текста ЯГКЫНИ получим исходное слово МОСКВА.
Ответ: MOCKBA.