РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7683 Добавить в вариант

У Сережи больше 50 черных и белых шаров, причем белых больше, чем черных. Оказалось, что он может выложить шары 2016 способами в ряд так, что никакие два черных не лежали рядом. Сколько шаров было у Сергея?

Спрятать решение

Решение.

Пусть p  — количество белых, а q  — черных, $N=C_p плюс 1 в степени левая круглая скобка q правая круглая скобка$   — количество мест, на которые можно выложить черные шары. При $p больше q,$ $p плюс q больше 2 q ,$ $2 p больше p плюс q больше 50,$ получаем

$C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка !, знаменатель: m ! левая круглая скобка m минус n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби ;$ $C_n в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = дробь: числитель: n !, знаменатель: m ! левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка ! конец дроби ;$ $дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка !, знаменатель: m ! левая круглая скобка m минус n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби больше дробь: числитель: n !, знаменатель: m ! левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка ! конец дроби .$

При $n плюс 1 больше m минус n плюс 1,$ то есть $2 n больше m,$ получаем

$C_n в степени левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: n !, знаменатель: левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка ! левая круглая скобка m минус n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби ;$ $C_n в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = дробь: числитель: n !, знаменатель: m ! левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка ! конец дроби ;$ $дробь: числитель: n !, знаменатель: левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка ! левая круглая скобка m минус n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби больше дробь: числитель: n !, знаменатель: m ! левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка ! конец дроби .$

При $m минус n больше m,$ то есть $2 m больше n,$ получаем

$C_N в квадрате = дробь: числитель: N левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 64 умножить на 63, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: p левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =2016=32 умножить на 63.$

Следовательно, $p левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка =64 умножить на 63.$ Получаем, что $p=63;$ $q=62,$ всего $62 плюс 63=125$ шаров.

Ответ: 125 шаров.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 этап (заключительный), 2016 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания, Методы алгебры. Сведение к однородному уравнению / неравенству

Спрятать решение · Помощь