По координатной плоскости, стартуя в начале координат, прыгает кузнечик. Первый прыжок длины один сантиметр направлен вдоль оси ОХ, каждый следующий прыжок на 1 см длиннее предыдущего, и направлен перпендикулярно предыдущему в одну из двух сторон по его выбору. Сможет ли кузнечик после 31-ого прыжка оказаться в начале координат?
Кузнечик совершит 16 горизонтальных прыжка нечётных длин 1, 3, 5, .., 31 см. Разобьём их на 4 четвёрки последовательных нечётных чисел, в каждой четвёрке первый и последний прыжки будут совершаться вправо, а второй и третий — влево. После каждых четырёх таких прыжков кузнечик будет оказываться на оси OY. Вертикальных прыжков кузнечик совершит 15, разобьём их на тройку 2,4,6 первых и 3 последовательных четвёрок оставшихся от 8 до 30. Прыжки длин 2 и 4 он сделает вверх, а прыжок длины 6 — вниз. В каждой четвёрке первый и последний прыжки он сделает вверх, а второй и третий — вниз. Прыгая так, после первой тройки и после каждой четвёрки вертикальных прыжков он окажется на оси ОХ. В итоге, после всех 31 прыжка он вернѐтся в начало координат.
Ответ: Да.