РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7701 Добавить в вариант

Найдите все натуральные a, при которых неравенство

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: a в квадрате левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби$

имеет ровно а) 2016 целых решений; б) 2017 целых решений.

Спрятать решение

Решение.

Запишем ОДЗ: $a не равно q 1,$ $a больше или равно 2,$ $a принадлежит N .$ Многочлен 6 степени, следовательно, 6 корней. Если $x=a$   — корень, то корни

$x_2=1 минус a,$ $x_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби ,$ $x_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус a конец дроби ,$ $x_6= дробь: числитель: a, знаменатель: a минус 1 конец дроби .$

1)  Если $a=2,$ то

$x_1=2,$ $x_2= минус 1,$ $x_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x_4= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x_5= минус 1,$ $x_6=2.$

То есть при

$левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0,$

имеем три решения $левая фигурная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 2 правая фигурная скобка .$

2)  Если $a больше или равно 3,$ то

$дробь: числитель: a, знаменатель: a минус 1 конец дроби =x_6 меньше или равно x меньше или равно x_1=a,$

$дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби =x_3 меньше или равно x меньше или равно x_4=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби ,$

$1 минус a=x_2 меньше или равно x меньше или равно x_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус a конец дроби$

$a больше или равно 3,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$

$минус a \leqslant минус 3,$ $1 минус a \leqslant минус 2$

$0 больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби \geqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , 1 больше x_4 больше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$

$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус a конец дроби меньше 0$

$дробь: числитель: a, знаменатель: a минус 1 конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a минус 1 конец дроби =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус a конец дроби$

$x_1 больше или равно 3,$ $x_2 \leqslant минус 2,$ $x_3 принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

$x_4 принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка ;$ $x_4 принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка ;$ $x_5 принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ;$ $x_6 принадлежит левая круглая скобка 1 ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;$

$левая фигурная скобка 2,3, \ldots, a правая фигурная скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка$ решение $левая фигурная скобка минус 1 минус 2 \ldots a минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая фигурная скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка$ решение

Всего целых решений $2 a минус 2:$

a) $2 a минус 2=2016,$ $a=1009.$

б) $2 a минус 2=2017,$ $a \notin \varnothing.$

Ответ: а)  1009; б)  нет таких a.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2016 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Задачи с параметрами. Линейные уравнения и неравенства, Методы алгебры. Сведение к однородному уравнению / неравенству

Спрятать решение · Помощь