РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7704 Добавить в вариант

Даны 2016 натуральных чисел $a_k=k !,$ $k=\overline1,2016.$ Можно ли из этой последовательности выбрать 2015 членов, произведение которых будет точным квадратом?

Спрятать решение

Решение.

Знаем, что

$S= левая круглая скобка a_1 умножить на a_2 правая круглая скобка левая круглая скобка a_3 умножить на a_4 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка a_2015 умножить на a_2016 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 умножить на левая круглая скобка 3 ! правая круглая скобка в квадрате \ldots левая круглая скобка 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2016.$ $S= левая круглая скобка a_1 умножить на a_2 правая круглая скобка левая круглая скобка a_3 умножить на a_4 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка a_2015 умножить на a_2016 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 умножить на левая круглая скобка 3 ! правая круглая скобка в квадрате \ldots левая круглая скобка 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2016.$

Так как $a_k плюс 1=a_k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка ,$ то

$S= левая круглая скобка 1 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 3 ! правая круглая скобка в квадрате \ldots левая круглая скобка 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 умножить на 4 \ldots 2016 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 3 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на \ldots левая круглая скобка 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка умножить на 1 умножить на 2 \ldots 1008= левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 504 правая круглая скобка умножить на 1 ! умножить на 3 ! \ldots 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 1008 !,$ $S= левая круглая скобка 1 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 3 ! правая круглая скобка в квадрате \ldots левая круглая скобка 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 умножить на 4 \ldots 2016 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 3 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на \ldots левая круглая скобка 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка умножить на 1 умножить на 2 \ldots 1008=$
$= левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 504 правая круглая скобка умножить на 1 ! умножить на 3 ! \ldots 2015 ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 1008 !,$

то есть

$a_1 умножить на a_2 \ldots a_1007 умножить на a_1009 \ldots a_2016=N в квадрате .$

Ответ: да, можно.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 этап (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Произведения и факториалы, Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь