РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7706 Добавить в вариант

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x в квадрате плюс b x плюс c$ при $c не равно q 0.$ Известно, что уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2016 x плюс 1$ не имеет действительных корней. Доказать, что уравнение

$f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =2016 в квадрате x плюс 2017,$

также не имеет корней.

Спрятать решение

Решение.

1)  Если $a больше 0,$ то $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 2016 x плюс 1,$ $\forall x$ в частности

$f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка больше 2016 f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 больше 2016 левая круглая скобка 2016 x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=2016 в квадрате x плюс 2017, \forall x .$

2)  Если $a меньше 0,$ то $f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 2016 x плюс 1,$ следовательно,

$f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 2016 f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 меньше 2016 левая круглая скобка 2016 x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=2016 в квадрате x плюс 2017, \forall x.$

Что требовалось доказать.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 этап (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства, Методы алгебры. Разложение на множители, Методы алгебры. Сведение к однородному уравнению / неравенству

Спрятать решение · Помощь