РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 771 Добавить в вариант

Нa стороне AC треугольникa ABC кaк нa диaметре построенa окружность рaдиусa 20 см. Этa окружность пересекaет стороны AB и AC в точкaх X и Y соответственно. Нaйдите $BX умножить на AB плюс CY умножить на AC.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть точка M  — середина стороны BC, она же центр окружности. Тогда

$A B умножить на A X=A C умножить на A Y= левая круглая скобка A M плюс 20 правая круглая скобка левая круглая скобка A M минус 20 правая круглая скобка .$

Отсюда

$A X= дробь: числитель: A M в квадрате минус 400, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 2 A B в квадрате плюс 2 A C в квадрате минус 1600 минус 1600, знаменатель: 4 A B конец дроби .$

Соответственно

$B X=A B минус дробь: числитель: 2 A B в квадрате плюс 2 A C в квадрате минус 3200, знаменатель: 4 A B конец дроби = дробь: числитель: 2 A B в квадрате минус 2 A C в квадрате плюс 3200, знаменатель: 4 A B конец дроби ,$

аналогично

$C Y= дробь: числитель: 2 A C в квадрате минус 2 A B в квадрате плюс 3200, знаменатель: 4 A C конец дроби .$

Тогда $B X умножить на A B плюс C Y умножить на A C= дробь: числитель: 6400, знаменатель: 4 конец дроби =1600.$

Ответ: 1600.

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник

Спрятать решение · Помощь