Сколько существует уравнений 
с различными коэффициентами a, b, c, с корнями которых являются числа a, b, c.
Пусть уравнение имеет три различных корня 
Тогда
Будем сначала считать, что все корни уравнения отличны от 0. Рассматривая записанные равенства как систему уравнений с переменными a, b, c и исключая а из второго и третьего уравнений, получим
Поскольку 
и 
то последняя система принимает вид
и после исключения b получим, что 
а тогда после очевидных вычислений будем иметь 
Если теперь уравнение удовлетворяет условию выдачи, то, по доказанному, выполняются равенства
Так как 
то 
и первые два равенства принимают вид 
Переписав второе из них в виде 
заметим, что при 
из первого равенства получаем 
что противоречит условию, а при 
имеем 
и первое равенство принимает вид 
то есть 
или
Исследование функции 
показывает, что она имеет точку максимума 
причём 
является её наибольшим значением на 
так что уравнение 
не имеет отрицательных уравнений. C другой стороны, на 
функция f монотонна, 
и, следовательно, уравнение имеет ровно один (положительный) корень a0.
Убедимся, что числа 
и 
различны. В самом деле
что неверно и, кроме того,
однако 
не является корнем уравнения 
Таким образом, условию задачи удовлетворяет единственное уравнение с корнями, отличными от. Если один из корней равен 0, то 
и мы должны найти все квадратные уравнения вида 
с коэффициентами a, b, отличными от 0 и друг от друга, имеющие корни a и b. По теореме Виета получаем систему
откуда 
и получаем окончательно, что условию задачи удовлетворяют два уравнения:
где a0 — единственный корень уравнения 
Ответ: условию задачи удовлетворяют два уравнения: 
и де a0 — единственный корень.