Пусть в пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC точка O центр её ос­но­ва­ния ABC, а от­ре­зок PQ  — общий пер­пен­ди­ку­ляр скре­щи­ва­ю­щих­ся рёбер AD и CB, Если то пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды

Так как то

Обо­зна­чив через V(x) объём пи­ра­ми­ды DABC, по­лу­ча­ем

Найдём про­из­вод­ную:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке При имеем при имеем по­это­му Не­труд­но по­ка­зать, что при этом

Итак, ис­ко­мой пи­ра­ми­дой наи­мень­ше­го объёма будет пра­виль­ный тет­ра­эдр с реб­ром

Ответ: см. рис.