РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7762 Добавить в вариант

Доказать, что если $x плюс y плюс z=1,$ то $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

По условию $x плюс y плюс z=1$ или $левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате =1,$ т. е. $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате плюс 2 левая круглая скобка xy плюс yz плюс zx правая круглая скобка =1.$ Так как $левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ то $a в квадрате плюс b в квадрате больше или равно 0,$ то $a в квадрате плюс b в квадрате больше или равно 2ab$ при любых a, b, то имеем, что $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате больше или равно xy плюс xz плюс yz.$ Поэтому $3 левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате правая круглая скобка больше или равно 1,$ откуда и следует, что $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За обоснованное решение  — 10 баллов.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Формулы сокращённого умножения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь