За­ме­тим, что 45  — это наи­боль­ший общий де­ли­тель числе 585 и 855. За­ме­тим, что a и b не равны 0, так как числа не могут на­чи­нать­ся с 0. Пред­по­ло­жим, что есть два числа, для ко­то­рых этот НОД боль­ше 45. За­ме­тим, что

де­лит­ся на это НОД. Де­ли­мость на 2 и 5 опре­де­ля­ет­ся по­след­ней циф­рой, то есть b, а она не может быть нулём, так что НОД не может быть од­но­вре­мен­но чётным и де­ля­щим­ся на 5. Тогда Зна­чит, если НОД не де­лит­ся на 3, он не может быть боль­ше или в за­ви­си­мо­сти от слу­чая, ко­то­рый мы раз­би­ра­ем.

Зна­чит, чтобы НОД был боль­ше 45, он дол­жен де­лить­ся на 3, а, зна­чит, ис­ход­ные числа де­лят­ся на 3.

Чтобы число де­ли­лось на 3, числа a и b долж­ны да­вать оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 3. Зна­чит, при­ни­ма­ет зна­че­ния 3 или 6 а, сле­до­ва­тель­но, НОД яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа причём по-преж­не­му не может со­дер­жать од­но­вре­мен­но 2 и 5. Если нас ин­те­ре­су­ет НОД, боль­ший 45, он дол­жен де­лить­ся на 9, и, более того, на 27. Зна­чит, число де­лит­ся на 9. При вы­пол­не­нии этого усло­вия, по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9, цифра a прак­ти­че­ски од­но­знач­но опре­де­ля­ет цифру b.

Таким об­ра­зом, в ка­че­стве имеет смысл рас­смот­реть толь­ко числа 171, 252, 333, 414, 585, 666, 747, 828, 909 и 999 (не­ко­то­рые из них не под­хо­дят, так как в част­но­сти, 999. Осталь­ные числа раз­би­ва­ют­ся на две ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии с раз­но­стью 81 каж­дая. По­сколь­ку 81 де­лит­ся на 27, нам до­ста­точ­но про­ве­рить, что 171 и 585 не де­лят­ся на 27 и осталь­ные числа также не будут де­лить­ся. Зна­чит, НОД не де­лит­ся на 27, и 45  — наи­боль­ший ва­ри­ант.

Ответ: 45.