Для каждой пары чисел 
и 
где a и b — различные цифры, посчитали НОД этих чисел. Найдите наибольший из этих НОД. Где — стандартное обозначение для числа, состоящего из цифр a, a и b именно в таком порядке.
Заметим, что 18 — это наибольший общий делитель числе 828 и 882. Предположим, что есть два числа, для которых этот НОД больше 18. Заметим, что
делится на это НОД. Получаем 
так что, чтобы НОД был больше 9, он должен содержать множители как из числа 9, так и из 
В частности, чтобы НОД был больше 9, он должен делиться на 3, а, значит, исходные числа делятся на 3.
Чтобы число 
делилось на 3, числа a и b должны давать одинаковые остатки при делении на 3. Значит, 
принимает значения 3, 6 или 9, а, следовательно, НОД является делителем 27, 54 или 81. Если нас интересует НОД, больший 18, он должен делиться на 9, и, более того, на 27. Значит, число делится на 9. При выполнении этого условия, по признаку делимости на 9, цифра a практически однозначно определяет цифру b.
Таким образом, в качестве имеет смысл рассмотреть только числа 117, 225, 333, 441, 558, 666, 774, 882, 990 и 999 (некоторые из них не подходят, так как 
в частности, 999. Остальные числа разбиваются на две арифметические прогрессии с разностью 108 каждая). Поскольку 108 делится на 27, нам достаточно проверить, что 117 и 558 не делятся на 27 и остальные числа также не будут делиться. Значит, НОД не делится на 27. Таким образом, 18 — наибольший вариант.
Ответ: 18.