Ре­ше­ние.

Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC, сов­па­да­ю­щая с точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис (цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти) тре­уголь­ни­ка BCH. B тре­уголь­ни­ке ABC эта точка лежит как на бис­сек­три­се угла C, так и на ме­ди­а­не из вер­ши­ны C. Зна­чит, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, AC  =  BC.

Про­длим пря­мую BG до пе­ре­се­че­ния с AC в точке M (см. рис.). С одной сто­ро­ны, BM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, т. е. 2CM  =  AC  =  BC. С дру­гой сто­ро­ны, это бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка BCH, т. е. от­ку­да 2HM  =  BH. В сумме имеем 2CH  =  2CM + 2HM  =  BC + BH. Те­перь вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра:

от­ку­да Тогда

Таким об­ра­зом, сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BCH со­от­но­сят­ся как Те­перь не­труд­но за­вер­шить ре­ше­ние за­да­чи: так как

и то по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Мы знаем от­ку­да По­лу­ча­ем это зна­че­ние сов­па­да­ет с ис­ко­мым

 

Ответ: 90.