РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 796 Добавить в вариант

Найдите суммарную длину промежутков на числовой оси, на которых выполняются неравенства $x меньше 1$ и $синус логарифм по основанию 2 x меньше 0.$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что нас интересуют только положительные x. Если $синус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше 0,$ значит, $2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка Пи меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше 2 k Пи$ для какого-то целого k, то есть $2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка меньше x меньше 2 в степени левая круглая скобка 2 k Пи правая круглая скобка .$ Так как $x меньше 1,$ нас интересуют только неположительные k. Обозначим $n= минус k.$ Число n принимает неотрицательные значения, тогда длина промежутка отрицательности нашей функции, имеющего номер n при нумерации с левой стороны (нумерация начинается с 0), равна

$2 в степени левая круглая скобка минус 2 n Пи правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка минус 2 n Пи правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Следовательно, длины всех промежутков составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $2 в степени левая круглая скобка минус 2 Пи правая круглая скобка ,$ а их сумма равна

$\sum_n=0 в степени левая круглая скобка бесконечность правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка минус 2 Пи правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка Пи правая круглая скобка , знаменатель: 1 плюс 2 в степени левая круглая скобка Пи правая круглая скобка конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка Пи правая круглая скобка , знаменатель: 1 плюс 2 в степени левая круглая скобка Пи правая круглая скобка конец дроби .$

Аналоги к заданию № 796: 884 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в неравенствах

Спрятать решение · Помощь