сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа x и y, для ко­то­рых спра­вед­ли­во ра­вен­ство x ! плюс y=y ! плюс x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x боль­ше y, то есть число t=x минус y  — на­ту­раль­ное. Тогда

 x !=y ! умно­жить на левая круг­лая скоб­ка y плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ldots умно­жить на левая круг­лая скоб­ка y плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно y ! умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ldots умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка \quad \Rightarrow \quad x ! боль­ше или равно y ! умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

и, зна­чит, x ! минус y ! боль­ше или равно y ! умно­жить на t. С дру­гой сто­ро­ны, по усло­вию x ! минус y !=x минус y=t, по­это­му t боль­ше или равно y ! умно­жить на t. От­сю­да y !=1, и, зна­чит, y=1. В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние сво­дит­ся к ра­вен­ству x !=x. Но x ! боль­ше x при x боль­ше 2, и так как x боль­ше 1, то x=2. Таким об­ра­зом, в пред­по­ло­же­нии x боль­ше y един­ствен­ным ре­ше­ни­ем урав­не­ния будет набор  левая круг­лая скоб­ка 2,1 пра­вая круг­лая скоб­ка . При y боль­ше x по­лу­ча­ем ещё один набор  левая круг­лая скоб­ка 1,2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1,2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка 2,1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .