РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 797 Добавить в вариант

Дан треугольник ABC, в котором AB = 2, BC = 8, AC = 8. Из точки B провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке D. Найдите, чем равно DI, где I центр вписанной окружности треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

Согласно лемме о трезубце, $D I=A D$ а по теореме синусов в треугольнике $A D B,$

$A D= дробь: числитель: A B синус \angle A B D, знаменатель: синус \angle A D B конец дроби = дробь: числитель: A B, знаменатель: синус \angle A C B конец дроби синус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби .$

Выражая $дробь: числитель: A B, знаменатель: синус \angle A C B конец дроби$ через теорему синусов в треугольнике $A B C,$ получаем

$A D= дробь: числитель: синус \angle A D B, знаменатель: синус \angle A B C конец дроби синус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: A C, знаменатель: 2 косинус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: синус \angle A C B, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус левая круглая скобка \angle A B C правая круглая скобка плюс 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$ $A D= дробь: числитель: синус \angle A D B, знаменатель: синус \angle A B C конец дроби синус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: A C, знаменатель: 2 косинус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: синус \angle A C B, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус левая круглая скобка \angle A B C правая круглая скобка плюс 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$ $A D= дробь: числитель: синус \angle A D B, знаменатель: синус \angle A B C конец дроби синус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: A C, знаменатель: 2 косинус \angle дробь: числитель: A B C, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: синус \angle A C B, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус левая круглая скобка \angle A B C правая круглая скобка плюс 2 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 797: 805 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник, Методы геометрии. Теорема синусов, Олимпиадная геометрия. Лемма о трезубце

Спрятать решение · Помощь