сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Функ­ция f для всех дей­стви­тель­ных x, y удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ствам f левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка и f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно x. Най­ди­те все такие функ­ции f(x).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из не­ра­вен­ства f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно x при x=0 сле­ду­ет, что f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, а из вто­ро­го не­ра­вен­ства при y=0 имеем:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x плюс 0 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то есть 0 боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , и, зна­чит, f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. От­сю­да и из не­ра­вен­ства f левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка при y= минус x по­лу­чим:

0=f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow минус f левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Снова ис­поль­зу­ем пер­вое не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно x те­перь для −x, по­лу­чим f левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant минус x или x \geqslant минус f левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит,

x \geqslant минус f левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow x боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из усло­вия f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно x и по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x для всех x.

 

Ответ: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = x.

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024