Пчела долж­на про­полз­ти по грани ABCDEF, по бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы и по грани A₁B₁C₁D₁E₁F₁  — имен­но в таком по­ряд­ке. Дей­стви­тель­но, если пчела по­ки­ну­ла грань ABCDEF в точке P, а потом вер­ну­лась в эту грань через точку Q, то она про­де­ла­ла не крат­чай­ший путь: крат­чай­ший путь между точ­ка­ми вы­пук­ло­го ABCDEF тоже лежит в ABCDEF. Ана­ло­гич­но с A₁B₁C₁D₁E₁F₁

Рас­смат­ри­вая раз­верт­ки приз­мы, убе­дим­ся в том, что крат­чай­ший путь пчелы между точ­ка­ми X и Y не вы­хо­дит за пре­де­лы по­верх­но­сти приз­мы ABCOA₁B₁C₁O₁  — зна­чит, про­хо­дит по грани ABB₁A₁ или по грани BCC₁B₁. Рас­смот­рев раз­верт­ки ABCOA₁B₁C₁O₁ с пу­тя­ми пчелы по упо­мя­ну­тым гра­ням, убе­дим­ся в ра­вен­стве длин путей пчелы. Вы­чис­лим длину пути, счи­тая длину сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка рав­ной вы­со­ту приз­мы рав­ной Тогда

The bee should crawl along the ABCDEF facet, along the lateral surface of the prism and along the A₁B₁C₁D₁E₁F₁ facet in that order. Indeed, if the bee left the facet ABCDEF at the point P and then returned to this facet through the point Q, then it did not follow the shortest path: the shortest path between the points of the convex ABCDEF also lies in ABCDEF. Like wise with A₁B₁C₁D₁E₁F₁.

Considering the unfolding of the prism, we will make sure that the shortest path of the bee between the points X и Y does not go beyond the surface of the prism ABCOA₁B₁C₁O₁  — it means that it passes along the facet ABB₁A₁ or along the facet BCC₁B₁. Having considered the sweeps ABCOA₁B₁C₁O₁ with the paths of the bee along the mentioned faces, we will make sure that the lengths of the paths of the bee are equal. Let’s calculate the length of the path, considering the length of the side of the hexagon equal to the height of the prism equal to

Then

Ответ: 7.