РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 81 Добавить в вариант

Найдутся ли пять последовательных натуральных чисел таких, что если обозначить их буквами a, b, c, d, e в некотором порядке, то выполнится равенство $левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка левая круглая скобка d плюс e правая круглая скобка левая круглая скобка e плюс a правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка \times$
$\times левая круглая скобка c плюс e правая круглая скобка левая круглая скобка e плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка левая круглая скобка d плюс a правая круглая скобка$ ?

Спрятать решение

Решение.

Предположим, такие числа нашлись, обозначим их за $x минус 2,x минус 1,x,x плюс 1,x плюс 2$ для некоторого натурального $x больше или равно 3.$ Заметим, что десять чисел в скобках в обеих частях равенства в условии являются всевозможными попарными суммами чисел a, b, c, d, e, то есть попарными суммами чисел $x минус 2,x минус 1,x,x плюс 1,x плюс 2.$ Из равенства в условии следует, что произведение всех этих десяти попарных сумм является точным квадратом натурального числа. Выразим это произведение через x: $левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате 4 x в квадрате ,$ оно является квадратом тогда и только тогда, когда квадратом является $левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 52 x в квадрате плюс 36.$ Однако последнее выражение не может быть квадратом, так как оно меньше $левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 6 правая круглая скобка в квадрате =16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 48 x в квадрате плюс 36,$ но больше $левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 7 правая круглая скобка в квадрате =16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 56 x в квадрате плюс 49,$ в силу того, что $4 x в квадрате больше или равно 36 больше 13.$

Ответ: Нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верный ответ.	7
Замечено, что десять чисел в скобках в обеих частях равенства в условии являются всевозможными попарными суммами чисел a, b, c, d, e.	1
Замечено, что произведение всех этих десяти попарных сумм является точным квадратом натурального числа.	2
Это произведение выражено через x, и замечено, что оно является квадратом тогда и только тогда, когда квадратом является $16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 52 x в квадрате плюс 36$ .	2
Доказано, что $16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 52 x в квадрате плюс 36$ не является квадратом.	2
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 3 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь