Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан треугольник ABC, O1 — центр его вписанной окружности; O2 — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений двух других сторон треугольника ABC. На дуге BO2 описанной окружности треугольника O1O2B отмечена такая точка D, что угол BO2D вдвое меньше угла BAC, M — середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки D, M, C лежат на одной прямой.
(О. А. Пяйве)
Решение.
Спрятать критерии
Заметим, что углы O1BO2 и O1CO2 прямые (как углы между биссектрисами смежных углов), поэтому B, O1, C, O2 лежат на одной окружности, и
Но угол BCM тоже равен 
(поскольку опирается на половину дуги BC), так что точки D, M, C лежат на прямой.