сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Углы α и β удо­вле­тво­ря­ют ра­вен­ствам

синус левая круг­лая скоб­ка 2 альфа плюс 2 бета пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; \quad синус левая круг­лая скоб­ка 2 альфа плюс 4 бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус 2 альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния тан­генс альфа , если из­вест­но, что он опре­делён и что этих зна­че­ний не мень­ше трёх.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зуя в левой части вто­ро­го ра­вен­ства сумму си­ну­сов в про­из­ве­де­ние, по­лу­ча­ем синус левая круг­лая скоб­ка 2 альфа плюс 2 бета пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Под­став­ля­ем в это со­от­но­ше­ние зна­че­ние си­ну­са из пер­во­го ра­вен­ства:

минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

От­сю­да сле­ду­ет, что ис­ход­ные ра­вен­ства эк­ви­ва­лент­ны со­во­куп­но­сти двух си­стем урав­не­ний:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка 2 альфа плюс 2 бета пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка 2 альфа плюс 2 бета пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Из пер­вой си­сте­мы по­лу­ча­ем

си­сте­ма вы­ра­же­ний синус 2 альфа ко­си­нус 2 бета плюс ко­си­нус 2 альфа синус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби синус 2 альфа плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус 2 альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ..

Далее имеем

4 синус альфа ко­си­нус альфа плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те альфа минус синус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс синус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 ко­си­нус альфа левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа плюс 2 синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус альфа =0, ко­си­нус альфа =2 синус альфа . конец со­во­куп­но­сти .

В пер­вом слу­чае тан­генс альфа не су­ще­ству­ет, а во вто­ром слу­чае тан­генс альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ана­ло­гич­но рас­смат­ри­ва­ем вто­рую си­сте­му:

си­сте­ма вы­ра­же­ний синус 2 альфа ко­си­нус 2 бета плюс ко­си­нус 2 альфа синус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус 2 бета = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус 2 бета = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби синус 2 альфа минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус 2 альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но .

рав­но­силь­но 4 синус альфа ко­си­нус альфа минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те альфа минус синус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс синус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 синус альфа левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус альфа плюс синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус альфа =0, 2 ко­си­нус альфа = минус синус альфа . конец со­во­куп­но­сти .

От­сю­да тан­генс альфа =0 или тан­генс альфа = минус 2.

Итак, воз­мож­ные зна­че­ния тан­генс альфа   — это 0, −2 и минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: 0, −2, минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Най­де­ны все воз­мож­ные зна­че­ния синус 2 бета минус 1  — 1 балл;

при­ме­не­на не­вер­ная три­го­но­мет­ри­че­ская фор­му­ла  — 0 бал­лов за за­да­чу;

най­де­но зна­че­ние тан­генс бета для каж­до­го из зна­че­ний синус 2 бета   — по 1 баллу.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024