РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8382 Добавить в вариант

Решить неравенство: $дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: \abs косинус 2x конец дроби меньше или равно 2\abs синус x минус \abs косинус 2x.$

Спрятать решение

Решение.

После преобразований получаем

$дробь: числитель: синус в квадрате x минус 2| синус x|| косинус 2 x | плюс | косинус 2 x| в квадрате , знаменатель: | косинус 2 x| конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка | синус x| минус | косинус 2 x| правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: | косинус 2 x| конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений | синус x|=| косинус 2 x|, косинус 2 x не равно q 0. конец системы .$ $дробь: числитель: синус в квадрате x минус 2| синус x|| косинус 2 x | плюс | косинус 2 x| в квадрате , знаменатель: | косинус 2 x| конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка | синус x| минус | косинус 2 x| правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: | косинус 2 x| конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений | синус x|=| косинус 2 x|, косинус 2 x не равно q 0. конец системы .$

Далее решаем уравнение

$| синус x|=| косинус 2 x| равносильно | синус x|=\left|1 минус 2 синус в квадрате x | равносильно \pm синус x=1 минус 2 синус в квадрате x равносильно совокупность выражений 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$ $| синус x|=| косинус 2 x| равносильно | синус x|=\left|1 минус 2 синус в квадрате x | равносильно$
$равносильно \pm синус x=1 минус 2 синус в квадрате x равносильно совокупность выражений 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$ $| синус x|=| косинус 2 x| равносильно | синус x|=\left|1 минус 2 синус в квадрате x | равносильно$
$равносильно \pm синус x=1 минус 2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=1, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=1, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .$ $k принадлежит Z .$

Вce решения удовлетворяют условию $косинус 2 x не равно q 0$ и могут быть объединены в одну серию

$x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби :n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + модули, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь