РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8430 Добавить в вариант

Найдите максимальное значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 2 косинус в кубе x$ на отрезке

$левая квадратная скобка арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

При необходимости округлите ответ до сотых.

Спрятать решение

Решение.

Вычисляя производную функции f(x), имеем

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 синус в кубе x косинус x минус 6 косинус в квадрате x синус x= синус 2 x левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 3 косинус x правая круглая скобка = минус синус 2 x левая круглая скобка косинус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка .$ $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 синус в кубе x косинус x минус 6 косинус в квадрате x синус x=$
$= синус 2 x левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 3 косинус x правая круглая скобка = минус синус 2 x левая круглая скобка косинус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка .$ $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 синус в кубе x косинус x минус 6 косинус в квадрате x синус x=$
$= синус 2 x левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 3 косинус x правая круглая скобка =$
$= минус синус 2 x левая круглая скобка косинус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка .$

На указанном отрезке два нуля производной: $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ (точка минимума) и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ (точка максимума). Вычислим значения функции в этих точках и в концах отрезка:

$f левая круглая скобка арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 265, знаменатель: 256 конец дроби ,$ $f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 13, знаменатель: 16 конец дроби ,$ $f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1,$ $f левая круглая скобка арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 217, знаменатель: 256 конец дроби ,$

откуда следует ответ.

Ответ: $f_\max = дробь: числитель: 265, знаменатель: 256 конец дроби \approx 1,04.$

Олимпиада школьников Ломоносов, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2022 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь