В неравнобедренном треугольнике ABC точка K — середина стороны AB, M — точка пересечения медиан, I — центр вписанной окружности. Известно, что ∠KIB=90°. Докажите, что MI ⊥ BC.
Пусть прямая AI пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Из условия следует, что AI и BI биссектрисы треугольника ABC. Пусть
и 
Тогда 
как вписанный, и поэтому 
Заметим, что 
как внешний угол треугольника AIB. Это означает, что треугольник BIP — равнобедренный и 
Пусть биссектриса внешнего угла треугольника при вершине B пересекает прямую AP в точке O. Тогда 
как биссектрисы смежных углов. Треугольник BIO — прямоугольный, причём 
а значит
Так как 
то 
а из того, что 
следует, что IK — средняя линия треугольника ABO. Отсюда получаем, что 
и 
Пусть точка N — середина стороны BC. Треугольники AIM и APN подобны, так как 
а значит 
Но 
поэтому 
что и требовалось доказать.
Замечание.
Доказанный в задаче факт о том, что 
(и, соответственно, 
), называется леммой о трезубце, а факт о том, что 
называется леммой Мансиона. Ссылки на леммы принимаются без доказательства.