РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8575 Добавить в вариант

При каком максимальном значении параметра $a левая круглая скобка a не равно q 0 правая круглая скобка$ уравнение

$левая круглая скобка косинус x плюс a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка минус левая круглая скобка косинус в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка x плюс a в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби a левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс a косинус x плюс a в квадрате правая круглая скобка в квадрате$

имеет более двух корней на интервале $левая круглая скобка 0; 2 Пи правая круглая скобка ?$ Найдите корни уравнения при указанном значении параметра. В ответе запишите сумму полученных корней уравнения, деленную на π.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем выражение

$левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка минус левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 6 y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка a плюс 15 y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка a в квадрате плюс 20 y в кубе a в кубе плюс 15 y в квадрате a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6 y a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка a минус y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка a в квадрате плюс y в кубе a в кубе минус y в квадрате a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс y a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 7 a y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 14 y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка a в квадрате плюс 21 y в кубе a в кубе плюс 14 y в квадрате a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 7 y a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=7 a y левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 y в кубе a плюс 3 y в квадрате a в квадрате плюс 2 y a в кубе плюс a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка =7 a y левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате плюс a y плюс a в квадрате правая круглая скобка в квадрате .$ $левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка минус левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 6 y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка a плюс 15 y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка a в квадрате плюс 20 y в кубе a в кубе плюс 15 y в квадрате a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6 y a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка a минус y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка a в квадрате плюс y в кубе a в кубе минус y в квадрате a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс y a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 7 a y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 14 y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка a в квадрате плюс 21 y в кубе a в кубе плюс 14 y в квадрате a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 7 y a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=7 a y левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 y в кубе a плюс 3 y в квадрате a в квадрате плюс 2 y a в кубе плюс a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=7 a y левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате плюс a y плюс a в квадрате правая круглая скобка в квадрате .$

Сделаем у исходном уравнении замену $y= косинус x,$ тогда исходное уравнение примет вид

$7 a y левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате плюс a y плюс a в квадрате правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби a левая круглая скобка y в квадрате плюс a y плюс a в квадрате правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow y левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

или $2 y в квадрате плюс 2 a y минус 1=0.$ Дискриминант уравнения $дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =a в квадрате плюс 2 больше 0,$ следовательно, уравнение всегда имеет два корня разных знаков

$y= дробь: числитель: минус a \pm корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Проверим выполнение неравенств

$минус 1 меньше или равно дробь: числитель: минус a минус корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби меньше 0 меньше дробь: числитель: минус a плюс корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1:$

то есть

$дробь: числитель: минус a минус корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \geqslant минус 1 \Rightarrow 2 минус a больше или равно корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка \Rightarrow система выражений 2 минус a больше 0, a в квадрате минус 4 a плюс 4 больше или равно a в квадрате плюс 2 конец системы . \Rightarrow система выражений a меньше 2, a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . \Rightarrow a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: минус a минус корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \geqslant минус 1 \Rightarrow 2 минус a больше или равно корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений 2 минус a больше 0, a в квадрате минус 4 a плюс 4 больше или равно a в квадрате плюс 2 конец системы . \Rightarrow система выражений a меньше 2, a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . \Rightarrow a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$

$дробь: числитель: минус a плюс корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1 \Rightarrow 2 плюс a больше или равно корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка \Rightarrow система выражений 2 плюс a больше 0, a в квадрате плюс 4 a плюс 4 больше или равно a в квадрате плюс 2 конец системы . \Rightarrow система выражений a больше минус 2, a \geqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . \Rightarrow a \geqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: минус a плюс корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1 \Rightarrow 2 плюс a больше или равно корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений 2 плюс a больше 0, a в квадрате плюс 4 a плюс 4 больше или равно a в квадрате плюс 2 конец системы . \Rightarrow система выражений a больше минус 2, a \geqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . \Rightarrow a \geqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Следовательно, когда параметр a рассматривается на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ уравнение относительно косинуса имеет 2 различных корня (разных знаков). При этом на интервале $левая круглая скобка 0; 2 Пи правая круглая скобка$ будет находиться 4 корня, если $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка :$

$x=2 Пи минус арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: минус a минус корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ $x= арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: минус a минус корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ $x= арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: минус a плюс корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ $x=2 Пи минус арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: минус a плюс корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

При $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ только три корня лежат в указанном интервале $x= Пи ,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ При значениях параметра больше $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ существует только косинус, принимающий положительные значения, и исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет только $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Сумма полученных корней 3π.

Ответ: 3.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2021 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Минимаксные задачи с параметрами, Задачи с параметрами. Параметры и тригонометрия, Задачи с параметрами. Уравнения, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Помощь