сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана рав­но­бо­кая тра­пе­ция ABCD (AD и BC  — па­рал­лель­ны, AD боль­ше BC пра­вая круг­лая скоб­ка . Окруж­ность \Omega впи­са­на в угол BAD, ка­са­ет­ся от­рез­ка BC в точке C и по­втор­но пе­ре­се­ка­ет CD в точке E так, что CE=7, ED=9. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти \Omega и пло­щадь тра­пе­ции ABCD.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AB и AD тра­пе­ции через K и W со­от­вет­ствен­но. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей

D W в квад­ра­те =D E умно­жить на D C=9 умно­жить на 16 \Rightarrow D W=12 .

Так как C и W  — точки ка­са­ния окруж­но­сти с па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми BC и AD, от­ре­зок CW есть диа­метр окруж­но­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ный этим пря­мым. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CDW на­хо­дим, что

C W= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 12 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =4 ко­рень из 7 .

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус R окруж­но­сти равен  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C W=2 ко­рень из 7 . Пусть B C=x . Тогда B K=x (ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки, равны), а в силу того, что тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная,

A K=A B минус B K=16 минус x .

Зна­чит, A W=A K=16 минус x . От­сю­да по­лу­ча­ем, что сумма ос­но­ва­ний есть

B C плюс A D=x плюс левая круг­лая скоб­ка 28 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =28,

и пло­щадь тра­пе­ции равна

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из 7 умно­жить на 28=56 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: R=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , S_ABCD=56 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Най­ден ра­ди­ус окруж­но­сти — 2 балла.

Най­де­на пло­щадь тра­пе­ции — 2 балла.


Аналоги к заданию № 854: 861 Все